Логическа задача за планинар(к)и

За онези, които имат склонност към логическо мислене, а същевременно се интересуват и практикуват планинарството, ето една любопитна задачка: Question

Група запалени туристи решили да направят целодневен преход из близката планина, като пренощуват в хижа, а на другия ден да се върнат обратно по същия път. Да се докаже, че съществува такава точка от маршрута, където и през двата дни те са били точно по едно и също време. Surprised

(очаквам с нетърпение верния отговор с доказателството) Idea

Perpetuum написа:

Група запалени туристи решили да направят целодневен преход из близката планина, като пренощуват в хижа, а на другия ден да се върнат обратно по същия път. Да се докаже, че съществува такава точка от маршрута, където и през двата дни те са били точно по едно и също време.

Решили, ама не тръгнали.
Още са си там - в едната и съща точка, в която са взели решението.

Каква е наградата?
Very Happy

според мен, за да има такава точка трябва изначално приемане на две величини за константа - началния час на тръгване и постоянна скорост/и двете неща на практика никога не стават..../, а такива не даваш в условието. Също така под "едно и също време" също не е ясно кое да разбираме - времето, изтекло от часа на тръгване, или реален час, напр. 12 00часа? Пътят с денивелация ли е, или хоризонтален?
При тези възприети условности, ако всичко е хоризонтално, вървят с едно темпо и тръгват по едно време двата дни, ако условно приемем че тръгват в 8 00 и стигат в 16 00, да кажем в 12 00 и двата дни ще са на средата на пътя.
На практика обаче нещата никога не стават като идеалните, описани по-горе, тъй като има и други "особености" - ако е баир - могат да минат първата половина по-бързо/защото са със свежи сили/, или по - бавно/защото не са загрели/, на следващия ден, уж да, нанадолнище е, ама нали са се напили вечерта, и им е чоглаво, махмурлии, не са починали и т.н. пак може да се засекат някъде. Да ама ако заради напиването са тръгнали и по-късно....? И задачата става такава за интегрално и/или диференциално смятане. Трябва да се определят границите на всички тези функции, и ако има застъпващ се участък, значи е много вероятно да има и засечка в определен час и участък. Тук Сотиров да каже, аз от такваз точно низша висша математика не вдявам.

lz1fw написа:

Perpetuum написа:

Група запалени туристи решили да направят целодневен преход из близката планина, като пренощуват в хижа, а на другия ден да се върнат обратно по същия път. Да се докаже, че съществува такава точка от маршрута, където и през двата дни те са били точно по едно и също време.

Решили, ама не тръгнали.
Още са си там - в едната и съща точка, в която са взели решението.

Каква е наградата?
Very Happy

Отговорът не се брои, защото не са тръгнали по маршрута. За да имаш маршрут, ти трябва поне една крачка разлика, сиреч точка А и В и разлика между тях делтаАВ...

Ако приемем постоянна скорост на движение еднаква и в двете посоки, то можем да минем и без интегрално сматане и да намерим общо решение (т.е независимо от колко часа тръгват да се връщат). Върти ми се нещо из главата, ама се опитвам да го съчетая с бачкане, та още не мога да го формулирам точно.

Благодаря за проявения интерес към поставената от мен задача. Преди всичко искам да кажа, че в нея няма никаква скрита уловка, нито пък някаква глупава шега.

И когато казах "решили" имам пред вид решили, тръгнали и накрая извървели споменатия преход напред през първия ден, и назад през втория.!
Нито в една от двете посоки те не са се движили с постоянна скорост!
Нито пък са тръгнали по едно и също време през ден първи и ден втори!
Твърдението се отнася за точно едно и също време в реален час, а не за времето, изтекло от часа на тръгване!

Нека сега да уточним поставените условия.
1. Не случайно се казва "целодневен поход". Тоест: да мислим, че неговата продължнитеност и в двата дни е бил повече от 6 (шест) часа- независимо с каква скорост са се движили туристите по трасето на отиване и после на връщане. Да отбележа още, че също е без значение дали са си почивали по пътя или не, дали са спирали на едно и също място или не, нито колко дълго са отмаряли. Във всички случаи твърдението на задачата е вярно и остава в сила!

2. Нека също да приемем, че и в двата дни планинарите са тръгвали не по-рано от 6 ч. сутринта и са свършвали дневното ходене не по-късно от 6 ч. вечерта. Това е важно!

И така, след дадените по-горе пояснения и всички необходими и достатъчни условия- вече е време някой да даде и правилния отговор!?...

Задачата изглежда наистина изключително невероятна, но е доказуем факт.

_________________
Който се е катерил нависоко, после ще трябва оттам да се спусне някак в ниското (възможно е и през глава надолу). Освен ако не е решил … да остане там горе, и да живее в небесата поне още 100 години заедно с орлите.

МИ тръгнали са от хижа А в 8,00ч. сутринта, в 12,00ч. са били на точка Б .....в 13,00ч. са стигнали в х. С. На другия ден са тръгнали в 10,00ч. от х. С и леко полеко са стигнали на точка Б в 12,00. / ето били са по едно и също време там/, пък кога са стигнали в х.А е друга бира и не е интересно.

МИ- даденият отговор е грешен! Twisted Evil

В зададената задача се твърди, че съществува такава точка от пътя, в която туристите са били по едно и също време на деня и двата пъти (на отиване и на връщане), абсолютно винаги- без значение как са ходили! Exclamation

В предлаганото решение неправилно се разглежда един-единствен и благоприятен случай! В частност, тогава твърдението е също така вярно! Wink

Иска се обаче доказателство, че такава точка има при всички възможни случаи, независимо как са ходили напред, пък после назад... Rolling Eyes

_________________
Който се е катерил нависоко, после ще трябва оттам да се спусне някак в ниското (възможно е и през глава надолу). Освен ако не е решил … да остане там горе, и да живее в небесата поне още 100 години заедно с орлите.

Признавам, че професионално познавам тази задача, а не я съобразявам в момента. Много хубава задача наистина, защото първата реакция на повечето хора е да забият в скоростите на качване и слизане, почивките и пр. В действителност решението изобщо не зависи от подробностите, а единственото условие е качването и слизането да имат някакъв общ участък от време (по часове, макар и в два последователни дни!). Да не е например качването от 8 до 14 ч. първия ден, пък слизането да е от 15 до 17 втория ден.

И така, решението: представете си туриста "удвоен", а двата дни слепени: единият екземпляр на туриста се изкачва, а другият му екземпляр слиза. Естествено часовете им на тръгване и пристигане ще са съвсем различни, скоростите и почивките им - още повече, но "двамата" туристи неминуемо ще се срещнат някъде по маршрута. Ето ги същото място и същия момент, в който истинският турист ще се окаже в двата последователни дни!

Благодаря на Перпетуум за хубавата задачка. И ако намесваме диференциалното смятане, то тя е чудесна илюстрация на принципите за непрекъснатост. Very Happy

Движението на една група в два последователни дни от А до Б и от Б до А, в контекста на тази задача, е еквивалентно на движението на две отделни групи в един и същи ден в срещуположни посоки между А и Б. От допълнително посочените ограничителни условия (продължителност на прехода на всяка от групите над 6 часа в 12-часовия интервал между 6:00 и 18:00) следва, че независимо от точния час на тръгване, скоростта на движение и почивките на всяка от групите, съществува някакъв период от време, в който и двете групи са били едновременно по маршрута между А и Б. Като отчетем и обстоятелството, че и двете групи са изминали целия маршрут, следва че съществува момент, в който те са се срещнали и разминали, движейки се в срещуположни посоки по маршрута. Моментът и точката, в която са се срещнали, са идентични с търсените в условието на задачата.

Виждам обаче, че вече са ме изпреварили с решението, макар и да достигнах до моето по независим път. Smile

С Ведрин сме като двамата виртуални туристи - нормално беше да се срещнем! Very Happy

Значи, ако вземем предвид уточнението на Perpetuum, това което съм написал като "вероятност" да се засекат някъде става "сигурност", следователно и аз имам претенция да съм отгатнал.
Ако обаче се изготви модел, държащ сметка на всички разминавания/различен начален час, равномерно или неравномерно темпо, "работно време почивки и отпуски", всякакви други обективни и субективни фактори в групата/, мисля че няма да е кой знае колко сложно, с едно уравнение да се дефинира и конкретния участък от трасето, където лежи поредицата от най-вероятни точки на засичане.

	Сотиров написа:
	.............. нормално беше да се срещнем!

Така хубаво се срещнахте, че дори и индианец като мен, който се чувстваше като добитък в кланица пред кабинета по математика преди 35-40години, разбра задачата.
Бравос на такива хора!

	vladofff написа:
	............. и аз имам претенция да съм отгатнал................

Отгатнал си, бе Владе, отгатнал си. Брои ти се и на тебе. Very Happy

Аз не съм отгатнал, но имам претенция към касата с бира....всичката е за мен.
Айде обявявам се за печеливш......
Благодаря много на спонсорите Very Happy

Може и по куриер ако не ви се занимава лично да се търсим

Мерси на Сотиров и vedrin за верния отговор. Класическото доказателство обикновено се дава както първото, което се предложи тук. Второто обаче се различава леко от него по изказа си, с малко по-различен поглед върху нещата и също има своята стойност.

Имам дребна забележка към мнението на колегата Сотиров (ако ми позволи да го наричам така), когато намесва тук диференциалното смятане. Не мисля, че диференциалното смятане има нещо общо със задачата. Иначе съм напълно съгласен, че "тя е чудесна илюстрация на принципите за непрекъснатост". Всъщност разглежданият проблем принадлежи към онзи дял на математика, наречен Топология. Топологията, най-общо казано, изучава свойствата на пространствата, които остават неизменни при деформации. В случая се отнася до "непрекъснатите пространства". Бих добавил още, че инструмент в решаването на задачата е и Логиката, а не Аритметиката.

Лично аз знам отдавна тази задача, от книгата "Математическа досетливост". Тя е превод на руския оригинал- "Математическая смекалка". С леки модификации я публикувах на форума. Ще си призная- отговорът знам също от там. Но винаги съм се удивлявал на елегантното и изящно доказателство. Докато не се знае решението, твърдението изглежда твърде неправдоподобно. Дори и невярно... Та нали все пак се отнася до неравномерно движение, неподатливо на всякакви разумни изчисления. Обаче отговорът постига именно това- без никакви формули или сложни пресмятания разглежда и решава проблема по същество, пренебрегвайки излишните и ненужни подробности за движението в двете посоки.

PS За мен задачата е един от бисерите на Математиката. Наред със доказателството, че не е възможно по никакъв начин на шахматната дъска да се премести фигурата Кон от долното ляво поле до горното дясно, като преди това стъпи на всички останали квадрати само по веднъж.
На първо място за всички времена обаче ще остане доказателството в Теорията на числата, че простите числа са безкрайно много! Без да има начин как да обиколим Безкрайността, ние вече я познаваме донякъде.....

_________________
Който се е катерил нависоко, после ще трябва оттам да се спусне някак в ниското (възможно е и през глава надолу). Освен ако не е решил … да остане там горе, и да живее в небесата поне още 100 години заедно с орлите.