Математика за дървосекачи

А така! И точно с теорията на вероятностите печелеше, с хазарта демек.

Доколкото знам, теорията на вероятностите тъкмо покрай хазартните игри е създадена.
Което й изиграва лоша шега - в началото не са гледали на нея като на "сериозна" математика.

Ами в началото тя не е и била особено "сериозна" математика. Занимавала се е с пресмятания в рамките на комбинаториката (като в учебника, който показах в книжната тема). Велики математици отпочват броенето: Пачоли, Кардано, Ферма, Паскал и Хюйгенс, който публикува книга, преди да се разбере за кореспонденцията на Ферма и Паскал. Да, най-голям стимул са хазартните игри и един знаменит техен любител, плейбой по днешному, който само с тях се е занимавал. Антоан Гомбо, шевалие дьо Мере (шевалие означава кавалер, конник и коняр, в случая е второто - благородническа титла, а не третото като оня, дето се завря в английското кралско семейство). На кавалера му били втръснали традиционните игри на зарове, а и искал да печели от тях. Затова си измислял нови игри, на които канел други комарджии, но не знаел дали игрите действително са печеливши за него. Изглеждали такива само по усет. Затова се консултирал с великите си приятели Ферма в Тулуза и Паскал в Париж. Те пък двамата си разменяли писма с решенията и, разбира се, получавали еднакви резултати, макар и по различен начин. Оттук и знаменитата фраза на Ферма в едно от писмата му до Паскал: „Виждате ли, господине, истината в Тулуза и Париж е една и съща!“ Ето една от новите игри на Дьо Мере: хвърля се зар четири пъти и той печели, ако поне веднъж се е паднала шестица. Вероятността да спечели е близка до 52% и играта е печеливша за него, макар и на границата. По-трудна задача, която решават Ферма и Паскал, е справедливото разделяне на мизата, когато играта е прекъсната преди края ѝ. Тогава трябва да се пресметнат вероятностите за печалба на всеки от играчите, ако играта беше продължила докрай.

На български е преведен сборникът „Бернули, Лаплас, Колмогоров. Вероятности“ (1982). Съдържа три фундаментални трактата. Част от „Изкуство на предположенията“ на Бернули, където той поставя началото на „сериозната“ теория със своята теорема за „големите числа“. От Лаплас е включено неговото „Философско есе за вероятностите“, което третира вероятностите в пола на новородените, застрахователните премии, съдебните присъди, врачуването и, разбира се, хазартните игри. Тук е изложена и неговата философска платформа за случайностите, известна като Лапласов детерминизъм. Заслужава си да се прочете! А трактатът на Колмогоров е по-специален и съдържа аксиоматиката на теорията на вероятностите.

Предлагам ви да играем на следната игра. Залагате едно евро и хвърляме три зара. Ако на един от тях се падне шестица, аз ви връщам еврото и ви давам още едно евро печалба. Ако шестицата се е паднала на два зара, печалбата ви е две евро. Ако пък се падне на трите зара, аз отново ви връщам заложеното евро заедно с три евро печалба. Мисля, че имате сметка, защото вероятността да се падне шестица на някой от трите зара е 3.(1/6) = 1/2 и тогава играта е безинтересна. Шестицата обаче може да се падне на два зара, че и на три и тогава печелите доста. Deal?

Задачата "Раздели числото 10 така, че разликата на квадратите на двете резултатни числа да е 40" има ли решение, което да може да се представя в алгебричен вид?
Въпрос от самото рождение на алгебрата...

Сотиров написа:

Предлагам ви да играем на следната игра. Залагате едно евро и хвърляме три зара. Ако на един от тях се падне шестица, аз ви връщам еврото и ви давам още едно евро печалба. Ако шестицата се е паднала на два зара, печалбата ви е две евро. Ако пък се падне на трите зара, аз отново ви връщам заложеното евро заедно с три евро печалба. Мисля, че имате сметка, защото вероятността да се падне шестица на някой от трите зара е 3.(1/6) = 1/2 и тогава играта е безинтересна. Шестицата обаче може да се падне на два зара, че и на три и тогава печелите доста. Deal?

Вероятността да не се падне шестица при хвърлянето на един зар е 5/6. При хвърлянето на три зара същата вероятност e 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216 (≈ 57.87%).

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

	vladofff написа:
	Задачата "Раздели числото 10 така, че разликата на квадратите на двете резултатни числа да е 40" има ли решение, което да може да се представя в алгебричен вид?

|x+y=10
|x²-y²=40

|x+y=10
|(x-y)(x+y)=40

|x+y=10
|x-y=4

|x+y=10
|x=4+y

4+2y=10
y=3
x=7

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

	vedrin написа:
	...

Това е ясно, дори на седмокласник.
аз друго се чудя, защо Мохамед Хорезми е написал, че не става?
В петия раздел на книгата са описани някои задачи, които не могат да се решат чрез алгебрични действия, например:
разделете числото 10 така, че сборът на квадратите на двете резултатни числа да е 58;
разделете числото 10 така, че разликата на квадратите на двете резултатни числа да е 40;

https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%85%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%B4_%D0%B0%D0%BB-%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BC%D0%B8

Е, не така де, Ведрине! Очаквах някой да се хване на играта. Действително тя е губеща за залагащия и това може да се пресметне по „кръчмарски“. Всички комбинации върху трите зара са 6.6.6 = 216. Ако залагащият ги купи всичките, ще плати 216 €. Така той купува цялата игра. Да видим колко ще си върне. Единичните шестици са 5.5.3 = 75 и от тях той ще получи 150 €. Двойните шестици са 5.3 = 15 и те му носят 45 €. Накрая, тройната шестица му носи 4 €. Всичко стават 199 €, сиреч чиста загуба 17 €. Съответно печалбата за казиното е 17/216, което е почти 7,9%. Съвсем прилична печалба, бих казал, макар че е далече от безсрамната печалба например на тотото, което връща само половината от залозите. Така че, ако по някаква космическа случайност всички заложили спечелят шестицата, те ще получат трици.

Сотиров написа:

На кавалера му били втръснали традиционните игри на зарове, а и искал да печели от тях. Затова си измислял нови игри, на които канел други комарджии, но не знаел дали игрите действително са печеливши за него. Изглеждали такива само по усет. Затова се консултирал с великите си приятели Ферма в Тулуза и Паскал в Париж. Те пък двамата си разменяли писма с решенията и, разбира се, получавали еднакви резултати, макар и по различен начин. Оттук и знаменитата фраза на Ферма в едно от писмата му до Паскал: „Виждате ли, господине, истината в Тулуза и Париж е една и съща!“ Ето една от новите игри на Дьо Мере: хвърля се зар четири пъти и той печели, ако поне веднъж се е паднала шестица. Вероятността да спечели е близка до 52% и играта е печеливша за него, макар и на границата. По-трудна задача, която решават Ферма и Паскал, е справедливото разделяне на мизата, когато играта е прекъсната преди края ѝ. Тогава трябва да се пресметнат вероятностите за печалба на всеки от играчите, ако играта беше продължила докрай.

Знаеш ли как са проверявали заровете в онези времена?

Питам, защото физическата действителност понякога не отговаря напълно на математическите очаквания ако не са взети предвид всички източници на грешки. Например, някои зарове биха могли да имат отклонения между центъра на масите и геометрическия им център, дори и това да не е непременно целенасочено създадено тяхно свойство. Най-простата причина биха могли да бъдат ямичките по страните им, заради които центърът на масите би могъл да се окаже по-близо до единицата и по-далеч от шестицата и вследствие от това шестици биха се падали в малко повече от 1/6 от случаите (колко повече?). Тогава, макар и "истината в Тулуза и Париж да е една и съща", би съществувала опасност кавалерът да се окаже и на загуба в житейската действителност...

Един сравнително прост и евтин, но не непременно достатъчно точен, начин за проверка е чрез потапяне и завъртане на заровете в солена вода, в която те биха плували на повърхността. В такава среда ефектът от споменатото разминаване би бил по-голям и по-лесно доловим с просто око при сравнително малък брой експерименти. По-точни измервания са възможни с по-скъпи средства, например:

Източник: Kardwell International, 14 март 2023 г.

А как ли проверяват заровете в казината? И какви ли са допустимите отклонения (защото сякаш неминуемо би имало такива, дори и да биват произвеждани с точност съпоставима с тази при изработката на огледалото на телескопа Джеймс Уеб)? И свойствата на заровете дали остават еднакви през целия им експлоатационен живот, както и при различни температури, влажности и т.н.?

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

vladofff написа:

...аз друго се чудя, защо Мохамед Хорезми е написал, че не става?
В петия раздел на книгата са описани някои задачи, които не могат да се решат чрез алгебрични действия, например:
разделете числото 10 така, че сборът на квадратите на двете резултатни числа да е 58;
разделете числото 10 така, че разликата на квадратите на двете резултатни числа да е 40;

Бих се усъмнил дали наистина е написал точно това, а нямам лесен начин да установя със сигурност. Все пак погледнах и се уверих, че подобни твърдения липсват в съответните страници на английски, френски, италиански, испански, португалски, руски, немски и турски език. Ако на някой му се занимава би могъл да погледне и останалите близо 130 страници на други езици. Сякаш по-вероятно е някой "да се е пошегувал" в българската страница по доста сполучлив начин, донейде подобен на историята с Огюст Мантинел, към която преди години привлякох вниманието на познати редактори.

Ако все пак бъде доказано, че Мохамед ал-Хорезми е написал тези твърдения, наистина би било интересно да се запитаме защо.

Между другото, този текст е бил добавен едновременно със следния източник и изглежда се позовава на него:

Йълдъз, Календер и др. Видни мюсюлмани в науката. София, Издателство „Брадър“; Заман, 2009. ISBN 978-954-9480-05-4.

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

	Цитат:
	Очаквах някой да се хване на играта.

Малко е объркващо условието - веднъж връщаш залога и даваш печалба, друг път само даваш печалба.
Трябва да се внимава в ситните букви.
Но ако не бъркам в сметките дай печалба от 32 евро за три шестици и може да се намерят кандидати.
Ако ти се свидят, дай печалба от 4 евро за две шестици.
Ако и четирите евро ти се свидят, дай печалба от 1.5 евро за една шестица и пак ще намериш кандидати.

Владо, Ведрин съвсем основателно се е усъмнил в написаното в Уикипедията, защото то е не само абсолютно невярно, но и глупаво. Какво означава "някои задачи, които не могат да се рашат с алгебрични действия"? Нищо не означава! Самият Ал-Хорезми решава първата задача (за 58 ) в "Глава за шест задачи", а втората (за 40) - в следващата "Глава за разни задачи". Получава еднакви отговори на двете задачи: 3 и 7, както и е.

	Сотиров написа:
	Владо, Ведрин съвсем основателно се е усъмнил ...

Аз също се усъмних, и именно затова я пуснах тая глупост. Не за друго, ами дали не е някакво извращение, което незапознати с подробностите да няма как да установят. Заради подобни щуротии спрях едно време да ходя на упражнения. Например - днес ще гледаме темата "имуществена отговорност на работодателя" - появи се асистентката, и за половин час, методично и напоително ни "убеди" че въпреки че така се казва, то това нещо не е нито имуществена, нито отговорност, а последният изобщо не е работодател. Теглих и една майна и отказах да се образовам повече с такива "знания"... Затова се зачудих дали и в математиката понякога не се срещат такива идиотщини...

Митак, и в трите случая на зарове с паднали се шестици залогът се връща, а има и печалба. Какво чудно? Ако играем на ези-тура, двамата залагаме по 1 лев. Ако се падне твоето (ези), ти взимаш 2 лева, т.е., заложеното плюс още толкова. Ако хвърляме един зар и ти заложиш 1 лев на шестица, аз ще трябва да заложа 5 лево, за да е справедлива играта. Ато спечелиш, взимаш 6 лева, т.е., твоя си лев плюс още 5. А аз останалите. Very Happy

Тая история с Огюст "Мантинел" много ми хареса. Напомни ми за вицовете, когато руснаците бяха изобретил всичко първи. Питат Радио "Ереван": "Вярно ли е, че руснаците са най-добрите изобретатели в света?" Радиото отговаря: "Да, те дори са измислили всичките си изобретатели!"

P.S. Владо, все пак Уикипедията не е математиката. В нея пишат всякакви, при това анонимно. Аз имам съчиненията на Ал-Хорезми и цитирам от тях.

Няма чудно и няма спор за това.
Просто обичам подредените и ясни неща.

	Цитат:
	Ако на един от тях се падне шестица, аз ви връщам еврото и ви давам още едно евро печалба. Ако шестицата се е паднала на два зара, печалбата ви е две евро.

Така написано невнимателният читател ще остане с впечатление, че печалбите при една и при две шестици са различни.
А всъщност печалбата при една и при две шестици е една и съща: + 1 евро. В единия случай се връща залога (излизаме на 0) и се дава 1 евро, в другия случай не се връща залога и печалбата пак е 2-1 = 1 евро.
Това имах предвид.