Географски център

Географски център? Що е това и как би могло да се определи?
От чисто любопитство преди две седмици, като скитахме в Рила, се замислих, дали не сме били някъде, около центъра на планината.
Всъщност знаех, че сме там, но започна да ме човърка точната среда къде се намира.
Чел съм, че на България е определен този център, но никъде не можах да разбера, как са успели да го изчислят и дали е било някаква
сложна формула и чертежи, или това е направено с някакъв мощен компютър, програмиран специално за целта.
За Рила, както и за почти всички планини, би могло да се извади чертеж с обиколката, но след това възможно ли е да се изчисли точния център и как?

п.с. Това е просто любопитство. Да не тръгне някой да прави някакви сложни изчисления. По-скоро ми е интересто, дали може да се заложи в някаква програма?

Аз бих го дефинирал като центъра на тежестта на фигура с формата на България.
Но доколкото, макар и прибрана, тази форма е все пак сложна, не знам как да се изчисли.
Можеш да пробваш следното:
Изрязваш от твърд картон парче с формата на България, вземаш остър предмет, например шило, насочваш острието нагоре и почваш да местиш картона по върха на острието (без да натискаш!) докато застане на кантар.
Точката, където картона застане на кантар е центъра на България.

Не е лошо някой математик да каже как става, че така малко с ръчен труд, може и да се окаже че земята е плоска Smile

Митака мисли във вярната посока.

Прочетох за един интересен експериментален метод за определяне на центъра:
- подготвяте парче шперплат, изрязано във формата на Рила
- увесвате шперплата хващайки го в произволна точка от очертанието му - примерно по северозападния ръб около Дупница
- чертаете по шперплата вертикална линия от точката на увесване към земята
- увесвате шперплата хващайки го в точка от очертанието му, отместена приблизително на 90 градуса - примерно по североизточния ръб около Костенец
- чертаете по шперплата втора вертикална линия от точката на увесване към земята
- центърът на масите, репективно геометричния център на фигурата е там, където се пресичат двете линии
- ако построите няколко такива линии, въртейки фигурата, ще получите по-прецизно определяне на центъра

Обяснението на метода е просто - всяко увесване гарантира получаването на линия, около която масите на фигурата са балансирани, т.е. еднакви вляво и вдясно от линията. Това ще гарантира също така еднакви площи от двете страни на линията, което пък може да подскаже лесен метод за определянето ѝ от произволна точка с помощта на итеративен компютърен алгоритъм.

Пускам две закачки:
1. Формата на Рила ще бъде различна според това каква картографска проекция използваме. Това ще доведе до съвсем различен център при всяка една проекция.
2. Центърът ще бъде различен ако разглеждаме 3D-повърхнина на планината в дадената картографска проекция вместо стандартната двумерна повърхнина. Very Happy

_________________
Бутам след осмата бира Very Happy

Идеали в комутативен пръстен определяне центъра на Рила - теорема за остатъците.
1. Да се докаже, че ако Iα са идеали в пръстен R за всички α ∈ A, то сечението
∩α∈A Iα е идеал в R.
Доказателство: Ако a, b ∈ Iα за ∀α ∈ A, то a−b ∈ (Iα, +) ≤ (R, +) и xa, ax ∈ Iα /R
за ∀α ∈ A и произволен елемент x ∈ R.. Следователно ∩α∈A Iα е идеал в R.
Лема 2. Ако I и J са идеали в пръстен R, то множеството
I + J = {α + β | α ∈ I, β ∈ J}
се нарича сума на I и J. Сумата I + J на идеали I и J в пръстен R е идеал в R.
Доказателство: Ако i1 + j1, i2 + j2 ∈ I + J с is ∈ I, js ∈ J, то
(i1 + j1) − (i2 − j2) = (i1 − i2) + (j1 − j2) ∈ I + J,
защото i1 − i2 ∈ (I, +) ≤ (R, +) и j1 − j2 ∈ (J, +) ≤ (R, +). За произволен елемент x ∈ R
имаме
x(i1 + j1) = xi1 + xj1 ∈ I + J, (i1 + j1)x = i1x + j1x ∈ I + J,
съгласно xi1, i1x ∈ I / R, xj1, j1x ∈ J / R. Това доказва, че I + J е идеал в R.

Така че центъра на Рила е сложно нещо

Както Дидо е намекнал, понятието "географски център" не е съвсем точно дефинирано и би могло да означава различни неща. Едно съвременно математическо понятие с по-ясен смисъл е "centroid". GIS приложенията обикновено имат възможност да изчислят центроида на произволен многоъгълник. Например, ако вземем зададения от мен периметър на слоя "Aerial View", който доста плътно следва границите на България, но извън територията на страната и на променливо разстояние от тях, т.е. твърде приблизително съответства на същинската граница на България, и изчислим неговия центроид бихме получили следното:

Както се вижда, има забележително добро съвпадение с т. нар. "географски център на България", имайки предвид както неточността на изходните данни, така и избора на конкретното място в тази местност, където да бъде поставен съответния знак.

В момента нямам под ръка подробен периметър на Рила (или други планини) във векторен вид, но ако някой предостави такива данни лесно бих могъл да изчисля съответните им центроиди.

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

Интересна ще ми бъде същата сметка в EPSG:32635/UTF35N (ако си ползвал 4326, както се вижда на картинката).

ПП: заради закачката, може да се направи полигон на България по граничната линия, с която така или иначе разполагаме.

_________________
Бутам след осмата бира Very Happy

	dido написа:
	Интересна ще ми бъде същата сметка в EPSG:32635/UTF35N (ако си ползвал 4326, както се вижда на картинката).

Направих я още одеве, резултатът е идентичен, но това може да е и заради начина, по който е имплементната в софтуера (в случая -- Global Mapper).

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

	dido написа:
	ПП: заради закачката, може да се направи полигон на България по граничната линия, с която така или иначе разполагаме.

Ако вземем за основа данните на УНИЦЕФ за административната граница на страната, които не са непременно много по-точни (забелязах, например, че очертават бреговете на Варненското езеро, което си е вътрешно за страната), се получава доста сходен резултат, макар и, съвсем очаквано, леко различен от гореспоменатия:

Забавно е, че двата резултата са групирани доста близо един до друг, но са относително по-далеч от т. нар. "географски център на България":

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

След като goro_levskara изчерта и ми изпрати границата на Рила, ето и резултата от изчислението на центроида ѝ:

Пада се в района на "Долен говедарник", на около 1130 m югоизточно от Водния чал и на около 300 m северно от пътя за Тиха Рила. Координатите му са lat="42.14222630" lon="23.46558647". Надморската му височина е около 2050 m.

_________________
"Caminante son tus huellas el camino y nada más;
caminante, no hay camino, se hace camino al andar." -- Antonio Machado

Благодаря на Ведрин, че ми предостави нужното инфо. За мен определено си е интересно и задоволи любопитството ми.
Мястото, както виждате, не е от най-благоприятните за посещение, но поне е близко до често използван маршрут.
В момента не бих могъл да си визуализирам точно там какъв е терена, но със сигурност иде реч за стръмните южни склонове на Водни чал.
А скали, или трева и в двата случая отиването до там си е свързано с не малък риск. Но поне знаем мястото и като минавам покрай него,
ще знам, че съм в центъра на планината Smile

Благодаря още веднъж на Ведрин!